计算机程序的构造和解释

心智的活动，除了尽力产生各种简单的认识之外，主要表现在如下三个方面：1）将若干简单认识组合为一个复合认识，由此产生出各种复杂的认识。2）将两个认识放在一起对照，不管它们如何简单或者复杂，在这样做时并不将它们合二为一。由此得到有关它们的相互关系的认识。3）将有关认识和那些在实际中和它们同在的所有其他认识隔离开，这就是抽象，所有具有普遍性的认识都是这样得到的。

• 程序设计的基本元素

  • 基本表达式，简单的个体元素，数字、变量等
  • 组合的方法，从简单的元素构造出复杂的元素，如组合式
  • 抽象的方法，为复合对象命名，并将其当成单元去执行，define

  应用序和正则序

  • “完全展开后合约”称为正则序求值
  • “先求值参数而后应用”称为应用序求值

  条件表达式和谓词

  (cond(<p1> <e1>)
  <p2> <e2>
  ...
  <pn> <en>))
  // 类似
  if p1 then
  	e1
  else if p2 then
  	e2
  else if ... then
  	...
  else if pn then
  	en
  end
  (if <predicate> <consequent> <alternative>)
  // 类似
  if predicate then
  	consequent
  else
  	alternative
  end
  

  练习

  (define a 3)  // a = 3
  (define b (+ a 1))  // b = 4
  (= a b) // #f
  // 4
  (if (and (> b a) (< b (* a b)))
  	b a)
  // 16
  (cond ((= a 4) 6)
  	((= b 4) (+ 6 7 a))
  	(else 25))
  // 6
  (+ 2 (if (> b a) b a))
  // 16
  (* (cond ((> a b ) a)
  	((< a b) b)
  	(else -1))
    (+ a 1))
  
  // 求三个数中最大的数
  (define (Max x y z)
  	(cond ((> x y) (> x z) x)
  	((> y x) (> y z) y)
  	((> z x) (> z Y) z)))
  

  牛顿迭代法求平方根

  牛顿迭代法：用线性逼近的方法求曲线的解，这样可以简化$f(x) = 0$求解的难度。

  $\begin{array}{lcr} f(x) = f(x_0) + (x - x_0)f'(x_0) + \frac{(x - x_0)^2}{2!}f''(x_0) + o(x^3) & (1) 泰勒展开 \\ F(x) = F(x_0) + (x - x_0)F'(x_0) & (2) 取其线性部分 \\ F(x) = 0, & (3) 以此作为f(x) = 0的近似解 \\ x_1 = x_0 - \frac{F(x_0)}{F'(x_0)} & (4) 若F(x_0)'不为0, x_1 为其一个近似解 \\ x_{n + 1} = x_n - \frac{F(x_n)}{F'(x_n)} & (5) 当x_1进度不够时，可以继续迭代 \end{array}$
  上式中(4)到(5)可以结合图形得到启示，

  $f(x) = f(x)$